2018年中考广东广州第25题—倒二压轴（四边形与旋转、路径）

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2018年中考广东广州第25题

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（2018•广州）如图1所示，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC.

       (1)求∠A＋∠C的度数；

       (2)连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

       (3)若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE²＝BE²＋CE²，求点E运动路径的长度.

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【题干精析】

四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,根据四边形内角和等于360⁰,得∠A+∠C=270°.AB=BC,可得等腰三角形,并具备通过旋转构造全等三角形的条件.

【图文精解】

(1)见【题干精析】得∠A+∠C=270°;

(2)因∠A+∠C=270°,而360°-(∠A+∠C)=90°,因此可以尝试构造出90°的角,也就是需将"∠A+∠C"体现出来,从而想到图形的变换,结合AB=BC,可尝试旋转△BCD.

        如图2,将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，使得BC与BA重合,得到△BAM,得∠BAM=∠BCD,AM=CD,连接DM,则△BDM为等边三角形,得BD=MD,且∠MAD=360°-∠BAD－∠BAM=90°.在Rt△AMD中,AD²+AM²=MD²,所以CD²+AD²=BD²；

（3）因为AE²＝BE²＋CE².即以AE，BE，CE为边构成的三角形满足勾股定理逆定理，类似（2）可以通过旋转将这三条线段进行关联.将△ABE绕着点B顺时针旋转60°，使AB与CB重合，得到△CBG，连接EG，如图3所示，则△BEG为等边三角形，BE=EG，AE=GC，∠BEG＝60⁰，所以GC²＝GE²＋CE²，可得∠GEC=90°，所以∠BEC=∠BEG+∠GEC=150°（为定角）. 

因为∠BEC为定角（150⁰），所对的边BC为定线段，所以E在以BC为

弦，所含圆周角为150°（或所对的圆周角为30⁰）的圆弧上运动，运动路径长为的长，如图4所示.

【方法精点】

1. 等边共端点的线段，可以尝试旋转，将题中所给的边的数量与位置关系（两直线夹角）进行转化.

2. BC为定线段，动点E满足使得∠BEC为定角，则点E在一段确定的圆弧上运动.

【拓展精深】

如图5,四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=45°,AB=CB,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由.

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